과연 '화장지 거는 방향'은 어느 쪽이 맞는 것일까? 혹시 화장실에 두루마리 화장지를 갈아 끼우면서 한 번쯤 궁금하게 생각해 보지는 않았는가? 저마다 여러 가지 의견이 있겠지만, 결론적으로 말하면 (그림의 왼쪽처럼) 위로 향하도록 화장지를 거는 것이 현명하다.

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▲  당신은 두루마리 화장지를 과연 어떤 방향으로 거는가?
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이유는 (그림의 오른쪽처럼) 아래로 거는 경우, 벽을 향하므로 시야가 좁아져 절단선이 잘 보이지 않는다. 그래서, 더 많은 화장지를 소비하게 되고 또 화장지를 풀기도 좋지 않기 때문이다.

또, 아래로 거는 경우 왠지 벽에 붙어있던 지저분한 먼지가 화장지에 다 묻을 것 같은 불안감은 물론, 좌르륵 풀리기 일쑤다. 특히, 벽에 습기가 차면 벽에 붙어버릴 우려도 있다. 풀리는 쪽이 벽 쪽에 있으면 잘 안 보여서 더 많이 풀어 쓰게 된다고 생각하면, 위로 끼울 경우 화장지 절약 효과까지 볼 수 있다.

수학적 사고력은 끝없는 '왜?'에서 출발

화장지 거는 방향과 수학적 사고와 무슨 연관이 있느냐고? '수학을 몰라도 사는 데 지장이 없다'고 한다면 어쩔 수 없지만, 수학적 사고의 출발은 하나의 사물을 바라보는 수많은 '왜?'와 그에 대한 풀이에서부터 시작한다. '왜?'에 대하여 명확한 답을 요구하기보다는 '과연 왜 그럴까?'라는 의문점을 가지고 다양한 경로를 통해 문제에 접근하는 방법인 것이다.

굳이 연역-귀납적 사고 같은 수학적 추론과정을 말하지 않더라도, 생각의 발상과 틀을 새롭게 함으로써 수학적 사고 능력을 키울 수 있다는 점은 두말할 나위가 없다. 하나의 의미 있는 발견을 해내었다면 그것이 사실임을 입증하는 절차가 바로 '수학적 사고' 과정이기 때문이다.

꿀벌의 집은 정육각형의 작은 방들로 빼곡히 메워져 있는데 그 놀라운 솜씨에 감탄사가 절로 나온다. 그런데 왜 꿀벌은 하필 정육각형 모양으로 집을 만드는 걸까? 우선, 평면을 가득 메울 수 있는 도형이 어떤 것이 있는지 생각해보자. 정다각형 가운데 평면을 빈틈없이 메울 수 있는 것은 오직 정삼각형, 정사각형, 정육각형뿐이다.

정오각형의 한 내각은 108도인데 한 꼭짓점에 3개의 정오각형을 모으면 12도만큼 벌어지게 되므로 도저히 평면을 메울 수 없다. 마찬가지로 정칠각형 이상인 경우도 한 꼭짓점에 2개를 모으고 남는 틈을 그 정다각형으로 메울 수 없다. 이제 꿀벌은 세 도형 가운데 어느 하나를 선택해야만 한다.

만약, 정사각형 모양으로 집을 만들면 어떻게 될까? 이 모양은 양쪽 옆에서 조금만 건드려도 잘 흔들리기 때문에 바람이 불면 꿀이나 알이 성치 않을 것이다. 그럼 정삼각형은 어떨까? 튼튼하기는 하지만 정육각형 모양으로 방을 만들 때보다 재료가 2배 더 들어 비경제적이다.

정육각형일 때 서로 맞닿는 부분의 넓이가 가장 작아 경제적이고 안정적이기 때문이다. 이것이 바로 정육각형 모양의 방을 선택한 이유이며, 자연계는 이렇게 가장 수학적인 법칙을 따르고 있다. 정육각형을 서로 이어 붙여 평면을 메운 경우는 이외에도 곤충의 눈, 잠자리의 날개, 눈의 결정 모양 등이 있다.

엉뚱한 발상이 수학적 재능을 발휘한다?

아이들이 수학을 싫어하거나 점수가 나오지 않으면 부모들이 가장 먼저 생각하는 것이 보습(입시) 학원이다. 학원 수강으로 성적이 오른 경우도 있겠지만, 학원과 무관하게 (우연히) 오르는 경우가 있음에도 '학원수강=성적향상'이라는 잣대는 부모를 위로해 주기에 충분하다.

하지만 학원이라는 곳은 여러 수준의 학생을 상대로 하기에 아이의 수준에 맞지 않는 강의를 듣게 될 수도 있다. 그러면 오히려 잘하는 아이들과 비교되는 것에 대해 낙담하게 되고, 그로 인해 수학에 흥미를 더 잃게 되기도 한다.

또 대부분은 개념파악도 제대로 안 된 상태에서 당장 문제풀이부터 시작한다. 눈앞에 닥친 중간고사 시험에서는 어느 정도 통할지 모르지만 결국 본질적인 개념 이해를 요하는 수능에서는 큰 낭패를 볼 수밖에 없다.

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▲  세계적인 물리학자 알베르트 아인슈타인(1879~1955)이 사진작가들 앞에서 혀를 날름 내밀고 찍은 일명 '메롱사진'이 지난 2009년 경매에서 7만4324달러에 낙찰됐다.
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오히려 엉뚱한 아이들이 수학적 재능을 발휘할지도 모른다.

혹시 아이가 가끔씩 먼 산을 바라본다거나 몽상에 빠지는 것 같아 걱정이 되는가? 하지만, 그것도 너무 걱정할 것 없다. 세계적 물리학자인 아인슈타인도 그랬으니까….

아인슈타인의 독특한 품행은 가히 타의 추종을 불허했다. 그는 매우 특이한 몽상가였고 책을 읽거나 생각에 빠져 넋을 잃고 있을 때가 잦았다. 하지만 몽상 속에서 자란 연약한 '싹'들이, 오늘날의 아인슈타인을 만들어 내고야 말았다.

학교에서 아인슈타인은 뛰어난 학생이었다. 다만 수학이나 과학처럼 그가 좋아하는 분야에서만 그랬다. 당시 독일 학교들에서는 기계적 암기에 근거한 단답형 문제를 묻는 경우가 많았으며, 답을 대지 못하면 손가락 마디를 아프도록 때리는 체벌을 가하곤 했다. 그러나 어린 아인슈타인은 단어를 신중히 고르고, 머뭇거리면서 느릿느릿 말하는 스타일이었다. 따라서 그는 창의력과 상상력을 뭉개면서 정신을 마비시키는 듯 한 훈련만 강조하는 숨 막히는 권위주의적 체계가 바라는 이상적인 학생과는 거리가 먼 존재가 될 수밖에 없었다. (중략)

과학에 대한 아인슈타인의 관심 또한 일찍 형성되었는데, 그가 '첫째 기적'이라고 부른 자석과의 만남에서 시작되었다. (중략) "아버지가 나침반을 보여 주었을 때 네다섯 살의 꼬마였던 내가 느낀 것은 자연의 경이로움이었다. 이 경험은 내게 깊고도 지워지지 않을 인상을 남겼다. 뭔가 깊이 감춰진 것이 사물의 배경에 있어야 했다."(중략)

불행히도 아인슈타인은(취리히공과대학) 입학시험에 붙지 못했다. 그는 불어와 화학과 생물학은 못 봤지만 수학과 물리에서는 예외적으로 뛰어난 성적을 거뒀다. 이에 감명을 받은 학장 엘빈 헤르초크는 이듬해에 그 지겨운 입학시험을 치를 필요 없이 받아 주겠노라고 약속했다.(중략)

아인슈타인은 그 학교의 느긋하고도 자유로운 분위기를 맘껏 즐겼다. 이 자유로운 분위기에서 물이 오르기 시작한 아인슈타인은 수줍어하고 소심하고 위축된 외톨이로서의 이미지를 벗고 활기차고 사교적이고 말 건네기 쉬우며 믿음직한 친구로 변모했다.
-본문 p.34~42, '아인슈타인의 우주' 중에서

수학에 눈뜨고 싶은가? 그렇다면 교과서부터 시작하라!

지금의 학생들이 훗날 대면하게 될 문제들을 해결하려면 지금과는 비교할 수 없을 만큼 창의적이고 유연한 사고가 절실하다. 하지만 IT선진국으로 부상한 대한민국 중등 교육의 현실은 암울하기만 하다. 일단 자기의 사고를 가지고 남을 설득하는 능력이 부족하다. 표현 능력 또는 의사소통 능력이 거의 길러지지 않았다는 뜻이다. 자기 아이디어를 남에게 설명할 수가 없으니 기업에서 볼 때는 별 쓸모없는 인력으로 보일 수밖에 없다.

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▲ 영재들을 위한 365일 수학여행 반양장 / 15,000원 / 280쪽 / 188 x 255
ⓒ 승산출판사	관련사진보기

수학적으로 '안다'고 한다면, 우선 머릿속에 담고 있어야 하고 말로 할 수 있어야 하고, 물론 글로도 쓸 수 있어야 한다.

그래야 비로소 '안다'고 말할 수 있지 않겠는가. 알려면 일단 수학 문제를 접해야 한다. 이를 해결하려고 끝까지 끙끙거리면서 노력할 때에 비로소 수학적 사고력이 신장된다. 이런 과정은 자발적이고 능동적인 참여 없이는 불가능하다.

수학과 가까이하고 싶은데 혹시 방법을 모르는가? 수학적 사고를 기를 수 있는 명쾌한 답은 없다. 다만 새롭게 눈뜨는 접근 방법은 얼마든지 있다.

우선 가장 쉽게 접근할 수 있는 적격의 교재가 바로 교과서이다. 보기 문제나 예제부터 막힌다고? 걱정하지 말고, 언제든지 풀이 과정을 봐도 좋다.

몇 번이고 반복하다 보면 딱딱하던 수학적 언어가 어느 순간 친숙하게 느껴지고, 그때부터 스스로 실전문제(절대로 풀이 과정을 보지 말고)에 도전하면 되는 것이다. 충분한 기초 다지기 없는 상태로 어려운 참고서와 각종 문제집에만 매달리는 것은 시간만 낭비할 뿐 의미가 없다. 수학 공부의 철칙은 꼭 스스로 하고 싶어 해야하며, 교과서가 주가 되어야 한다.

1년 동안 매일 수학문제와 명언에 도전하라

<영재들을 위한 365일 수학여행>은 크게 세 부분으로 이루어져 있다. 아인슈타인의 일화를 통해 청소년들에게 스스로 수학 공부를 하는 즐거움을 소개한다. 뒤이어 흥미로운 수학문제 366개, 수학에 관한 명언 366개, 과거와 현재의 수학 이야기 366개를 통해 1년 동안 매일 수학 문제에 도전하며 수학에 심취할 수 있도록 꾸며졌다.

이렇게 배열된 문제들의 장점은, 수학의 기초를 튼튼히 다지면서 동시에 수학의 재미를 만끽할 수 있게 해 준다는 것이다. 수학에 관한 명언은 유명 수학자와 물리학자, 시인과 소설가 등의 명언 가운데 수학과 관련된 재치 있는 말들을 발췌한 것이다. 짧은 이 명언들은 수학의 핵심이 무엇인지 정곡을 찌른다.

올바른 수학공부를 위한 최선의 선택은 없다. 그저 매일 접하라. 지금까지 수학공부를 못했다고 자책하지 마라. 특별한 수학적 두뇌가 없다고 주저하지도 말라.

매일 아침 신비하고 매력적인 수학의 아름다움과 접한다면, 혹시 아는가? 명언을 읽다 불현듯 수학을 하고 싶은 강렬한 마음이 저절로 우러나게 될 지….